資産運用について

（2025年12月30日）資産を運用するために，考えたことをメモしていきます。自己流です。

積立金利計算

$x$円を$n$年間運用して（預金して），利息が合計$d$円になったとすると，年利の平均は，利息を延べ運用額（運用額×年）で割った \begin{align} r=\frac{d}{x n} \end{align} です。 これを一般化して，お金を毎月の積み立てて，$t$年後に積立金が合計$x(t)$円，利息が合計$d(t)$円，合わせて$x(t)+d(t)$円になったとします。年利の平均$r$は，やはり利息を延べ運用額（運用額を年で積分した値）で割った \begin{align} r=\frac{d}{\displaystyle \int_0^n x(t)dt} \end{align} です。 特に，毎月一定額のお金を積み立てる場合は，積分の計算をすることができ \begin{align} r=\frac{2 d}{x n} \end{align} となります。なお，毎月一定額の積み立てでなく，積み立てる金額が変動するばあいでも，この計算でほぼ近似できると思います。

債券の利率と利回り

額面$z$円，年利率$r$，残存期間$n$年の債券が$x$円で売られているとします。新発の債券の場合は残存期間$n$が償還期間です。その債券を$a$円購入したとします。$m$年後にその債券を債券市場価格$y$円で売るとします。債券の売却額は\begin{align}\frac{y}{x} a\;円,\end{align}$m$年間の利金は\begin{align}\frac{x}{z} a r m \; 円\end{align}なので，利回り$r'$は\begin{align}r'=\frac{\frac{y}{x}a+\frac{z}{x}arm-a}{am}=\frac{y}{mx}+\frac{rz}{x}-\frac{1}{m}\end{align}です。満期まで保有した場合の利回り$R$は，$m=n$，$y=z$なので\begin{align}R=\frac{z}{nx}+\frac{rz}{x}-\frac{1}{n}\label{R}\end{align}です。

（例）額面$z=100$円，年利率$r=3.7\%$，残存期間$n=29.83$年(約$29$年$10$ヶ月)の国債が，単価$x=97.91$円で売られているとします。満期まで保有した場合の利回り$R$は，(\ref{R})で$n=29.83$，$z=100$とおいて，\begin{align}R=\frac{100}{29.83\times 97.91}+\frac{0.037\times 100}{97.91}-\frac{1}{29.83}=3.85\%\end{align}となります。