錐体の信号強度が三刺激値の線形結合で表せる理由
波長$\lambda$の単色光に対する，L,M,S錐体の分光感度を$W_L(\lambda)$, $W_M(\lambda)$, $W_S(\lambda)$とし，色光$Q$のエネルギースペクトルを$C(\lambda)$とします。 すると，色光$Q$に対するL,M,S錐体の信号強度$L$, $M$, $S$は，それぞれ \begin{align}\label{LMSdef} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle L=\int d\lambda C(\lambda)W_L(\lambda), \\ \displaystyle M=\int d\lambda C(\lambda)W_M(\lambda), \\ \displaystyle S=\int d\lambda C(\lambda)W_S(\lambda), \\ \end{array} \right. \end{align} で与えられます。 一方，色覚の3色性によって，色光$Q$はRGB表色系の原刺激R, G, Bを三刺激値$R$, $G$, $B$の割合で混色した色光と等色するので， (\ref{LMSdef})の$Q$のスペクトル$C(\lambda)$は，原刺激の混色のスペクトル \begin{align}\label{eq} R C_R(\lambda)+G C_G(\lambda)+B C_B(\lambda) \end{align} と置き換えても，信号強度$L$, $M$, $S$は変化しません。 ここで，$C_R(\lambda)$, $C_G(\lambda)$, $C_B(\lambda)$は，原刺激R,G,Bのスペクトルです。 従って， \begin{align}\label{LMS2} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle L=\int d\lambda (R C_R(\lambda)+G C_G(\lambda)+B C_B(\lambda)) W_L(\lambda)=R U_{LR}+G U_{LG}+B U_{LB}, \\ \displaystyle M=\int d\lambda (R C_R(\lambda)+G C_G(\lambda)+B C_B(\lambda)) W_M(\lambda)=R U_{MR}+G U_{MG}+B U_{MB}, \\ \displaystyle S=\int d\lambda (R C_R(\lambda)+G C_G(\lambda)+B C_B(\lambda)) W_S(\lambda)=R U_{SR}+G U_{SG}+B U_{SB}, \\ \end{array} \right. \end{align} 行列で表記すると， \begin{align}\label{LMS-RGB} \left( \begin{array}{c} L\\M\\S \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc} U_{LR} & U_{LG} & U_{LB}\\ U_{MR} & U_{MG} & U_{MB}\\ U_{SR} & U_{SG} & U_{SB}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} R\\G\\B \end{array}\right). \end{align} ここで， \begin{align}\label{U} U_{ij}=\int d\lambda C_j(\lambda)W_i(\lambda) \end{align} は色光$Q$に依らない，原刺激と錐体の分光感度で決まる定数です。 以上で，錐体の信号強度$(L, M, S)$が三刺激値$(R,G,B)$の線形結合（線形変換）である事が示せました。
さらに，(\ref{LMS-RGB})に，XYZ表色系の三刺激値$(X,Y,Z)$と$(R,G,B)$の関係 \begin{align}\label{XYZ-RGB} \left( \begin{array}{c} R\\G\\B \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc} 0.41847 & -0.15866 & -0.08283\\ -0.09117 & 0.25243 & 0.01571 \\ 0.00092 & -0.00255 & 0.17860 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} X\\Y\\Z \end{array}\right) \end{align} を代入すると \begin{align}\label{LMS-XYZ} \left( \begin{array}{c} L\\M\\S \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc} V_{LX} & V_{LY} & V_{LZ}\\ V_{MX} & V_{MY} & V_{MY}\\ V_{SX} & V_{SZ} & V_{SZ}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} X\\Y\\Z \end{array}\right). \end{align} ここで， \begin{align}\label{V} \left( \begin{array}{ccc} V_{LX} & V_{LY} & V_{LZ}\\ V_{MX} & V_{MY} & V_{MY}\\ V_{SX} & V_{SZ} & V_{SZ}\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} U_{LR} & U_{LG} & U_{LB}\\ U_{MR} & U_{MG} & U_{MB}\\ U_{SR} & U_{SG} & U_{SB}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0.41847 & -0.15866 & -0.08283\\ -0.09117 & 0.25243 & 0.01571 \\ 0.00092 & -0.00255 & 0.17860 \\ \end{array} \right). \end{align} (\ref{LMS-XYZ})より，錐体の信号強度$(L, M, S)$は三刺激値$(X,Y,Z)$の線形結合（線形変換）である事も示せました。