相似なユニタリ/直交行列はユニタリ/直交行列で相似

（2024年2月29日, 初版2024年2月26日）

A proposition on similar unitary/orthogonal matrices

Proposition: For similar unitary matrices $A$ and $B$, there exists unitary matrix $X$ such that $B=X^{-1}AX$.
ユニタリ行列$A$, $B$が相似ならば， $B=X^{-1}AX$となるユニタリ行列$X$が存在する。

Corollary: For similar real orthogonal matrices $A$ and $B$, there exists real orthogonal matrix $X$ such that $B=X^{-1}AX$.
実直交行列$A$, $B$が相似ならば， $B=X^{-1}AX$となる実直交行列が存在する。

Conjecture: For similar complex orthogonal matrices $A$ and $B$, there exists orthogonal matrix $X$ such that $B=X^{-1}AX$. This conjecture was proved by Dr. T. Miyazaki.
複素直交行列$A$, $B$が相似ならば， $B=X^{-1}AX$となる直交行列$X$が存在する。 宮崎直氏が証明してくれました。難しいです。エレガントな証明を求む。

Lemmas

1. 行列$A$, $B$が相似$B=X^{-1}AX$ならば，$A$, $B$の固有方程式は等しいので，固有値は重複度も含めて等しい。
2. $λ, v$が実直交行列Cの固有値，固有ベクトルならば，$λ^*, {}^tv^*$も$C$の固有値，固有ベクトル
3. 正方行列$C$の列を入れ替えた行列は$CL$と書け，$L$は実対称で$L^2=L$

Proof:

$$\begin{align}\label{XAX} B=X^{-1}AX, \end{align}$$ $$\begin{align} A^*A=B^*B=1. \end{align}$$

ユニタリ行列はユニタリ行列で対角化できるので， $A$, $B$を対角化するユニタリ行列を$U_A$, $U_B$， 対角行列を$\Lambda_A$, $\Lambda_B$とすると， $$\begin{align}\label{du} U_A^*AU_A=\Lambda_A, \; U_B^*BU_B=\Lambda_B. \end{align}$$ Lemma 1より，$A$と$B$の固有値は等しいので， $\Lambda_A=\Lambda_B$となるようように， 固有ベクトルの行列$U_A$, $U_B$の列を並べかえることができる。 したがって， $$U_A^*AU_A = U_B^*BU_B.$$ $B$について解くと， $$B = U_BU_A^*AU_AU_B^* = (U_AU_B^*)^*A(U_AU_B^*).$$ $Y=U_AU_B^*$とおくと， $$B=Y^{-1}AY.$$ これを$\eqref{XAX}$と比べると，$X=Y$ととれる事がわかる。 この$Y$は，$Y^*Y=U_BU_A^*U_AU_B^*=1$なのでユニタリ。 （この証明は上記宮崎氏のコメントで書き換えました。オリジナルの半分以下の長さになりました。）
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Proof of corollary:

$$\begin{align} {}^tAA={}^tBB=1 \end{align}$$ $$\begin{align} {}^tA=A^*, \; {}^tB=B^*. \end{align}$$ $A$, $B$はユニタリ行列なので，Propositionより，Propositionの記号で， $X=U_AU_B^*$。 したがって， $$\begin{align}\label{tXX} {}^tXX={}^t(U_AU_B^*)U_AU_B^*={}^tU_B^*{}^tU^A U_AU_B^*. \end{align}$$ ここで， $U_C$, $C=A,B$の列は$C$の固有ベクトルなので， Lemma 2より，${}^tU_C^*$は$U_C$の列を入れ替えた行列。 したがって，列を入れ替える行列を$L$とすると， $${}^tU_C^*=U_CL, \; C=A,B.$$ Lemma 3より，$\eqref{tXX}$は $${}^tXX={}^tU_B^* L^*U_A^* U_A {}^tL{}^tU_B={}^tU_B^* L^* {}^tL {}^tU_B ={}^tU_B^* {}^tU_B={}^t(U_BU_B^*)=1.$$ すなわち，$X$を直交行列にとれる。 なお，この$X$はLemma 3より $$\begin{equation}\label{ORX} {}^tX^*={}^t(U_AU_B^*)^*={}^tU_A^*{}^tU_B = U_A L L^* U_B^*=X. \end{equation}$$ なので，$X$は実。
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Proof of lemma 1

$$\begin{align} A=X^{-1}BX \end{align}$$ の時，$E$を単位行列，$t$を変数として，$A$の固有値を決める固有方程式は $$\det(A-tE)=\det(X^{-1}(B-tE)X)=\det(X)^{-1}\det(B-tE)\det(X)=\det(B-tE)$$ なので$B$の固有方程式に等しい。
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Proof of lemma 2

$${}^tCC=1, {}^tC^*=C.$$ $$Cv=\lambda v$$ ならば， $${}^t(Cv)^*=C^tv^*=\lambda^*{}^tv^*.$$ □

Proof of lemma 3

$L$は， $i$列と$j$列を入れ替える場合は，$i$行目は$j$列，$j$行目は$i$列のみが$1$で他は$0$。 これは実対称$L^*={}^tL$, ${}^tL=L$。 同じ入れ替えをもう一度行うと元に戻るので$L^2=L$。
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間違いの指摘，アドバイスなどをコメントに書き込んで頂けると有難いです。